Babylónská metoda

Babylónská metoda výpočtu druhé odmocniny (též Hérónova metoda) je iterační postup, při kterém se odhad hodnoty odmocniny postupně upřesňuje výpočtem aritmetického průměru odhadu a podílu odmocňovaného čísla a odhadu.

Pro výpočet ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ se opakovaně počítá:

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}}{2}}}$

Jako počáteční odhad ${\displaystyle x_{0}}$ lze použít ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ (pro hledání kladného kořene), ${\displaystyle -{\frac {a}{2}}}$ (pro hledání záporného kořene) a nebo vhodné jiné číslo, které má poloviční počet číslic než ${\displaystyle a}$.

Babylónská metoda vede ke stejnému výpočtu jako numerické řešení rovnice ${\displaystyle x^{2}-a=0}$ Newtonovou metodou (metoda tečen).

${\displaystyle {a}}$	0,01	1	2	100
${\displaystyle x_{0}={a}/{2}}$	0,005	0,5	1	50
${\displaystyle x_{1}={\frac {x_{0}+{\frac {a}{x_{0}}}}{2}}}$	1,002500000000	1,250000000000	1,500000000000	26,000000000000
${\displaystyle x_{2}={\frac {x_{1}+{\frac {a}{x_{1}}}}{2}}}$	0,506237531172	1,025000000000	1,416666666667	14,923076923077
${\displaystyle x_{3}={\frac {x_{2}+{\frac {a}{x_{2}}}}{2}}}$	0,262995552059	1,000304878049	1,414215686275	10,812053925456
${\displaystyle x_{4}={\frac {x_{3}+{\frac {a}{x_{3}}}}{2}}}$	0,150509504406	1,000000046461	1,414213562375	10,030495203890
${\displaystyle x_{5}={\frac {x_{4}+{\frac {a}{x_{4}}}}{2}}}$	0,108475245618	1,000000000000	1,414213562373	10,000046356508
${\displaystyle x_{6}={\frac {x_{5}+{\frac {a}{x_{5}}}}{2}}}$	0,100331088387	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000107
${\displaystyle x_{7}={\frac {x_{6}+{\frac {a}{x_{6}}}}{2}}}$	0,100000546289	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000000
${\displaystyle x_{8}={\frac {x_{7}+{\frac {a}{x_{7}}}}{2}}}$	0,100000000001	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000000
${\displaystyle x_{9}={\frac {x_{8}+{\frac {a}{x_{8}}}}{2}}}$	0,100000000000	1,000000000000	1,414213562373	10,000000000000

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Methods of computing square roots na anglické Wikipedii.

Zdroj