Arkus sekans

Arkus sekans (psáno také jako arkussekans) je cyklometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {arcsec} \,x}$.

Definice

Funkce ${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}$ je inverzní k funkci ${\displaystyle x=\sec y\;\left(0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}\right)}$; je definována pro ${\displaystyle x\in \left(-\infty ,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty \right)}$

Vlastnosti

Značení:	${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\;\;}$ ${\displaystyle \qquad \left(\;{\mbox{resp.}}\quad \sec ^{-1}x\;\right)}$[1]
Definiční obor	${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty \right)}$
Obor hodnot	${\displaystyle \left\langle 0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right\rangle }$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze rostoucí na intervalu ${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right\rangle }$ Je ryze rostoucí na intervalu ${\displaystyle \left\langle 1,+\infty \right)}$ Není ryze rostoucí na svém definičním oboru, ale je prostá
Symetrie	Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu ${\displaystyle (x,y)=\left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$
Periodicita	Není periodická
Limity	${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}}$
Inverzní funkce	${\displaystyle x=\sec y}$   (sekans)
Derivace	${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
Integrál	${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {arcsec}(x)-{\frac {x}{|x|}}\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}$
Taylorova řada	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{3}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}-{\frac {5}{112}}x^{-7}+\dots \qquad }$ v okolí nekonečna
Významné hodnoty	${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&-2&-{\sqrt {2}}&-{\frac {2}{\sqrt {3}}}&-1&1&{\frac {2}{\sqrt {3}}}&{\sqrt {2}}&2\\\hline \operatorname {arcsec} x&{\frac {2\pi }{3}}&{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&\pi &0&{\frac {\pi }{6}}&{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{3}}\end{array}}}$

Vzorce

${\displaystyle {\begin{array}{lcll}\operatorname {arcsec} x+\operatorname {arccsc} x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {arcsec} x+\operatorname {arcsec}(-x)&=&\pi \\\operatorname {arcsec} x+\operatorname {arcsec} y&=&\operatorname {arcsec} \left({\frac {xy}{1-xy\,{\sqrt {\left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}}}\right)\\\operatorname {arcsec} x-\operatorname {arcsec} y&=&\operatorname {arcsec} \left({\frac {xy}{1+xy\,{\sqrt {\left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}}}\right)\\\end{array}}}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=\int _{1}^{x}{\frac {{\mathrm {d} }t}{t\,{\sqrt {t^{2}-1}}}},\quad x\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}{x-\displaystyle {\frac {2x}{3x^{2}-\displaystyle {\frac {2x^{2}}{5x^{2}-\displaystyle {\frac {12x^{2}}{7x^{2}-\displaystyle {\frac {12x^{2}}{9x^{2}-\dots }}}}}}}}}},\quad |x|>1}$

Graf

Odkazy

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu arkus sekans na Wikimedia Commons
• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.

Zdroj