Čtyřúhelník

Čtyřúhelník (cizím slovem tetragon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.

Definice

Lze jej definovat více způsoby. Zde jsou dvě definice čtyřúhelníku:

Definice1: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
Definice2: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Základní pojmy

Čtyřúhelníky můžeme třídit z mnoha hledisek. Mezi nejzákladnější patří rozdělení na čtyřúhelníky konvexní a nekonvexní.

konvexní útvar U nazýváme konvexní právě tehdy, když pro každé jeho dva body X, Y platí, že úsečka XY je podmnožinou útvaru U.	konvexní	nekonvexní útvar U nazýváme nekonvexní právě tehdy, když existují alespoň dva body X, Y náležící útvaru U pro které platí,že úsečka XY není podmnožinou útvaru U.	nekonvexní

Pro konvexní čtyřúhelník musí platit, že všechny jeho vnitřní úhly jsou větší než 0° a menší než 180°, zatímco nekonvexní čtyřúhelník má právě jeden úhel větší než 180° a menší než 360°.

Dále se budeme zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky a slovo konvexní budeme vynechávat. Standardní označení stran a úhlů v konvexním čtyřúhelníku.

Čtyřúhelník lze definovat více způsoby. Uveďme alespoň dvě definice čtyřúhelníku.

Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Úsečky AC, BD nazýváme úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD. Úhly ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC, ∠BAD náleží vnitřní oblasti čtyřúhelníku, nazýváme je vnitřními úhly.

Dvojice úhlů ∠ABC, ∠BCD; ∠BCD, ∠ADC; ∠ADC, ∠BAD; ∠BAD, ∠ABC označujeme jako sousední úhly čtyřúhelníku ABCD a dvojice úhlů ∠ABC, ∠ADC a ∠BCD, ∠BAD jako protější úhly čtyřúhelníku ABCD.

Obvyklé značení pro délky stran je |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |AD| = d; délky úhlopříček |AC| = e = $u_{1}$ , |BD|= f = $u_{2}$ a pro velikosti úhlů: |∠BAD| = α,

|∠ABC| = β,|∠BCD| = γ, |∠ADC| = δ.^[1]

Klasifikace čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky lze rozdělit několika způsoby - například podle rovnoběžnosti stran

rovnoběžník
lichoběžník
různoběžník

Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné v každé z obou dvojic.

dělení podle velikosti úhlů

pravoúhlý	čtverec, obdélník
kosoúhlý	kosočtverec, kosodélník

dělení podle délky stran

rovnostranný	čtverec, kosočtverec
různostranný	obdélník, kosodélník

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné pouze v jedné z obou dvojic; tyto strany se pak nazývají základny.

obecný	každá strana má jinou délku
rovnoramenný	nerovnoběžné strany jsou shodné
pravoúhlý	jedno rameno je kolmé k základně

Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.

Další speciální případy čtyřúhelníků, které rozdělení podle rovnoběžnosti stran nepostihuje:

Tětivový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici.
Tečnový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici.
Dvojstředový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, je tedy současně tětivovým i tečnovým čtyřúhelníkem.
Deltoid ("drak") je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, přičemž jedna z nich (hlavní úhlopříčka) půlí druhou (vedlejší úhlopříčku). Každý deltoid je současně tečnový čtyřúhelník.

Obvod a obsah

Obvod čtyřúhelníku se rovná součtu délek všech stran. O = a + b + c + d.

Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:

S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},

kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníku, s je jeho poloviční obvod; α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).

Obsah je také možno vypočítat rozdělením čtyřúhelníku na dva trojúhelníky:

$S={\frac {1}{2}}(ab\sin \beta +cd\sin \delta )={\frac {1}{2}}(ad\sin \alpha +bc\sin \gamma )$

Ke konstrukci obecného čtyřúhelníku potřebujeme 5 prvků, z nichž aspoň 2 musí mít rozměr délky. Nejčastěji si jej vhodně rozdělíme (např. úhlopříčkou) na dva trojúhelníky a začne tím, ve kterém známe 3 prvky. K doplnění druhého trojúhelníku postačí 2 prvky, protože společnou stranu již známe.

Má-li čtyřúhelník nějaké zvláštní vlastnosti (symetrie), pak k jeho narýsování stačí méně prvků (u rovnoběžníku jen 3, u čtverce 1 prvek).