Číselná posloupnost

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Nekonečná číselná posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel.

Konečná posloupnost je každá funkce, jejíž definiční obor je konečná podmnožina všech přirozených čísel. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

V matematice se pracuje také s nečíselnými posloupnostmi – například posloupnostmi funkcí.

Zadání posloupnosti

Vzorcem pro n-tý člen

${\displaystyle \left[{h_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ např. ${\displaystyle h_{n}=-3+(-1)^{n}}$ nekonečná posloupnost

${\displaystyle \left[{h_{n}}\right]_{n=1}^{5}}$ např. ${\displaystyle h_{n}=\left[{0,5}^{n}\right]_{n=1}^{5}}$ konečná posloupnost

Rekurentně

a) je dán první člen a vzorec k výpočtu členu ${\displaystyle a_{n+1}}$ pro každé ${\displaystyle n}$ z množiny N ${\displaystyle a_{1}=4,a_{n+1}=-2a_{n}}$ pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N

b) jsou dány první dva členy a vzorec k výpočtu ${\displaystyle b_{n+2}}$ na základě znalosti ${\displaystyle b_{n}}$ a ${\displaystyle b_{n+1}}$ ${\displaystyle b_{1}=1}$, ${\displaystyle b_{2}=-1}$, ${\displaystyle b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_{n}}$ pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N

Výčtem svých členů

${\displaystyle h_{n}=n_{1},n_{2},n_{3},\ldots ,n_{n}}$ pro konečnou posloupnost

Vlastnosti posloupností

U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:

• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je rostoucí, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}<a_{n+1}}$
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je nerostoucí, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je klesající, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je neklesající, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$

Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je shora omezená, právě když existuje reálné číslo ${\displaystyle h}$ takové,že pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\leq h}$.
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo ${\displaystyle d}$ takové,že pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\geq d}$.
• Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.

Konečná posloupnost délky ${\displaystyle n}$ je

• čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost ${\displaystyle (a_{1},a_{i})}$ je rostoucí a ${\displaystyle (a_{i},a_{n})}$ je klesající^[1]
• bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti^[2]

Jestliže se v libovolně malém ${\displaystyle \varepsilon }$-okolí bodu d, tzn. v intervalu ${\displaystyle (d-\varepsilon ,d+\varepsilon )}$, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$, pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$.

Limita

Říkáme, že posloupnost

• konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots }$ konverguje k 0),
• diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$ diverguje k ${\displaystyle \infty }$), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. ${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost

Je-li ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ posloupnost (obecně reálných) čísel a ${\displaystyle (k_{n})_{n=1}^{\infty }}$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz ${\displaystyle (a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }}$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z ${\displaystyle a_{n}}$ (jinými slovy, z ${\displaystyle a_{n}}$ vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Odkazy

Reference

Související články

• Posloupnost
• Řada (matematika)
• Aritmetická posloupnost
• Geometrická posloupnost
• Cauchyovská posloupnost
• Fareyova posloupnost
• Fibonacciho posloupnost
• Nekonečný součin

Zdroj